|
ریاضی دوازدهم صفحه 107 - تمرین 1
۱) الف) با رسم نمودار تابع $f(x) = |x - 2|$، نشان دهید که $f$ در $x = 2$ مینیمم نسبی دارد.
ب) آیا $f'(2)$ موجود است؟ چرا؟
پ) آیا $x = 2$ طول نقطه بحرانی تابع است؟ چرا؟
پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی دوازدهم صفحه 107 - تمرین 1
**الف) رسم نمودار و تشخیص مینیمم نسبی:**
نمودار تابع $f(x) = |x - 2|$ شبیه حرف $V$ است که راس آن در نقطه $(2, 0)$ قرار دارد.
در نقطه $x = 2$، مقدار تابع صفر است و در هر همسایگی اطراف آن، مقادیر تابع بزرگتر از صفر هستند.
بنابراین طبق تعریف، تابع در $x = 2$ دارای **مینیمم نسبی** است.
**ب) بررسی مشتق در $x = 2$:**
خیر، $f'(2)$ **موجود نیست**.
دلیل آن این است که نمودار در نقطه $x = 2$ دارای یک **نقطه گوشهای** (شکستگی) است.
در نقاط گوشهای، مشتقهای چپ و راست با هم برابر نیستند، بنابراین تابع در آن نقطه مشتقناپذیر است.
**پ) بررسی نقطه بحرانی:**
بله، $x = 2$ طول یک **نقطه بحرانی** است.
طبق تعریف، نقاطی از دامنه که در آنها مشتق برابر صفر است یا مشتق وجود ندارد، نقاط بحرانی نامیده میشوند.
چون در $x = 2$ مشتق وجود ندارد، این نقطه بحرانی محسوب میشود.
ریاضی دوازدهم صفحه 107 - تمرین 2
۲) نمودار تابع $f(x) = -x^3 + 3x$ را رسم کردهایم.
الف) طولهای نقاط اکسترمم نسبی $f$ را تعیین کنید.
ب) میدانیم این تابع در $\mathbb{R}$ مشتقپذیر است. ریشههای معادله $f'(x) = 0$، یعنی طولهای نقاط بحرانی تابع را به دست آورید.
پ) با توجه به الف و ب، درستی قضیه قبل را در مورد این تابع بررسی کنید.
پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی دوازدهم صفحه 107 - تمرین 2
**الف) تعیین طول نقاط اکسترمم از روی نمودار:**
با نگاه به نمودار داده شده:
* نقطه پایین (دره) در $x = -1$ قرار دارد که یک **مینیمم نسبی** است.
* نقطه بالا (قله) در $x = 1$ قرار دارد که یک **ماکزیمم نسبی** است.
بنابراین طولهای نقاط اکسترمم نسبی عبارتند از: $x = -1$ و $x = 1$.
**ب) یافتن نقاط بحرانی با استفاده از مشتق:**
ابتدا از تابع مشتق میگیریم:
$f'(x) = -3x^2 + 3$
سپس برای یافتن نقاط بحرانی، ریشههای مشتق را مییابیم:
$-3x^2 + 3 = 0 ightarrow 3x^2 = 3 ightarrow x^2 = 1 ightarrow x = 1, x = -1$
طول نقاط بحرانی $x = 1$ و $x = -1$ به دست میآیند.
**پ) بررسی قضیه:**
قضیه بیان میکند که اگر تابعی در یک نقطه اکسترمم نسبی داشته باشد و در آن نقطه مشتقپذیر باشد، حتماً مشتق آن در آن نقطه صفر است.
در این تمرین دیدیم که نقاط اکسترمم نسبی ($x = m 1$) دقیقاً همان نقاطی هستند که در آنها $f'(x) = 0$ است.
پس این مثال تاییدکننده قضیه است؛ یعنی اکسترممهای نسبی تابع مشتقپذیر در نقاط بحرانی آن رخ میدهند.
ریاضی دوازدهم صفحه 107 - تمرین 3
۳) تابع با ضابطه $f(x) = -x^2 + 2x + 2$ را در نظر بگیرید. $f$ همواره مشتقپذیر است.
الف) $f'(x)$ را به دست آورید.
ب) ریشه معادله $f'(x) = 0$ را محاسبه کنید تا طول نقاط بحرانی تابع به دست آید.
پ) با رسم نمودار سهمی، تحقیق کنید که آیا نقطه اکسترمم $f$ منطبق بر نقطه بحرانی آن است؟
پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی دوازدهم صفحه 107 - تمرین 3
**الف) محاسبه مشتق:**
با استفاده از قوانین مشتقگیری داریم:
$f'(x) = (-x^2)' + (2x)' + (2)' = -2x + 2$
**ب) یافتن نقطه بحرانی:**
برای پیدا کردن نقطه بحرانی، ریشه مشتق را مییابیم:
$-2x + 2 = 0 ightarrow 2x = 2 ightarrow x = 1$
پس طول نقطه بحرانی تابع $x = 1$ است.
**پ) رسم نمودار و تطبیق با نقطه بحرانی:**
نمودار این تابع یک سهمی رو به پایین است (چون ضریب $x^2$ منفی است).
راس این سهمی که نقطه ماکزیمم آن است، در طول $x = rac{-b}{2a} = rac{-2}{2(-1)} = 1$ قرار دارد.
مشاهده میکنیم که نقطه **اکسترمم مطلق و نسبی** تابع در همان $x = 1$ رخ میدهد که قبلاً به عنوان **نقطه بحرانی** به دست آورده بودیم.
بنابراین نقطه اکسترمم بر نقطه بحرانی منطبق است.
